3乗根 216 を計算します。

了解しました。数学の問題を解いていきます。以下、各問題に対する解答と解説です。

**(4) $\sqrt[3]{216}$**

1. 問題の内容

3乗根 216 を計算します。

2. 解き方の手順

216が何の3乗になるかを考えます。

$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ であるため、$\sqrt[3]{216} = 6$ となります。

3. 最終的な答え

6

**(5) $4^{2.5}$**

1. 問題の内容

4 の 2.5乗を計算します。

2. 解き方の手順

$4^{2.5}$ は $4^{\frac{5}{2}}$ と書けます。これは $(4^{\frac{1}{2}})^5$ と同じです。

$4^{\frac{1}{2}}$ は $\sqrt{4}$ と同じなので、2になります。

したがって、 $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ となります。

3. 最終的な答え

32

**(6) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{64}}$**

1. 問題の内容

3乗根と4乗根の組み合わせを計算します。

2. 解き方の手順

まず内側の4乗根を計算します。$\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}$

次に3乗根を計算します。$\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3/2}} = 2^{3/2 * 1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$

**(7) $\sqrt[4]{125} \times \sqrt[4]{5}$**

1. 問題の内容

4乗根の掛け算を計算します。

2. 解き方の手順

4乗根の性質から、$\sqrt[4]{a} \times \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a \times b}$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt[4]{125} \times \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \times 5} = \sqrt[4]{625}$ となります。

$625 = 5^4$ であるため、$\sqrt[4]{625} = 5$ となります。

3. 最終的な答え

5

**(8) $a^{\frac{1}{3}} \div a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{5}{6}}$**

1. 問題の内容

指数の割り算と掛け算を計算します。

2. 解き方の手順

指数の法則から、$a^m \div a^n = a^{m-n}$ および $a^m \times a^n = a^{m+n}$ が成り立ちます。

したがって、$a^{\frac{1}{3}} \div a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{2-3-5}{6}} = a^{-\frac{6}{6}} = a^{-1}$ となります。

3. 最終的な答え

$a^{-1}$ または $\frac{1}{a}$

**(9) $(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}})^2 \times (a^{-\frac{1}{3}})^{-7}$**

1. 問題の内容

指数の計算を計算します。

2. 解き方の手順

指数の法則から、$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ および $(a^m)^n = a^{m \times n}$ が成り立ちます。

したがって、$(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}})^2 \times (a^{-\frac{1}{3}})^{-7} = (a^{\frac{2}{3}} \cdot b) \times a^{\frac{7}{3}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}} \cdot b = a^{\frac{9}{3}} \cdot b = a^3 \cdot b$ となります。

3. 最終的な答え

$a^3b$