複素数 $z$ と自然数 $n$ が与えられ、 $S = z^{-2n} + z^{-2n+2} + z^{-2n+4} + \dots + z^{-2} + 1 + z^2 + \dots + z^{2n-4} + z^{2n-2} + z^{2n}$ とする。 (1) $z^{-1}S - zS$ を計算せよ。 (2) $i$ を虚数単位とし、$\theta$ を実数とする。$z = \cos\theta + i\sin\theta$ のとき、自然数 $k$ に対して、$z^{-k} + z^k$ の実部と $z^{-k} - z^k$ の虚部を $\theta$ と $k$ を用いて表せ。 (3) $\theta$ を実数とし、$\sin\theta \neq 0$ とする。次の等式を証明せよ。 $1 + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta) = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin\theta}$

1. 問題の内容

複素数 $z$ と自然数 $n$ が与えられ、

$S = z^{-2n} + z^{-2n+2} + z^{-2n+4} + \dots + z^{-2} + 1 + z^2 + \dots + z^{2n-4} + z^{2n-2} + z^{2n}$

とする。

(1) $z^{-1}S - zS$ を計算せよ。

(2) $i$ を虚数単位とし、$\theta$ を実数とする。$z = \cos\theta + i\sin\theta$ のとき、自然数 $k$ に対して、$z^{-k} + z^k$ の実部と $z^{-k} - z^k$ の虚部を $\theta$ と $k$ を用いて表せ。

(3) $\theta$ を実数とし、$\sin\theta \neq 0$ とする。次の等式を証明せよ。

$1 + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta) = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $z^{-1}S - zS$ を計算する。

$z^{-1}S = z^{-2n-1} + z^{-2n+1} + z^{-2n+3} + \dots + z^{-3} + z^{-1} + z + \dots + z^{2n-5} + z^{2n-3} + z^{2n-1}$

$zS = z^{-2n+1} + z^{-2n+3} + z^{-2n+5} + \dots + z^{-1} + z + z^3 + \dots + z^{2n-3} + z^{2n-1} + z^{2n+1}$

よって、

$z^{-1}S - zS = z^{-2n-1} - z^{2n+1}$

(2) $z = \cos\theta + i\sin\theta$ のとき、$z^k = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta)$ および $z^{-k} = \cos(-k\theta) + i\sin(-k\theta) = \cos(k\theta) - i\sin(k\theta)$ である。

したがって、

$z^{-k} + z^k = (\cos(k\theta) - i\sin(k\theta)) + (\cos(k\theta) + i\sin(k\theta)) = 2\cos(k\theta)$

$z^{-k} - z^k = (\cos(k\theta) - i\sin(k\theta)) - (\cos(k\theta) + i\sin(k\theta)) = -2i\sin(k\theta)$

よって、$z^{-k} + z^k$ の実部は $2\cos(k\theta)$ であり、$z^{-k} - z^k$ の虚部は $-2\sin(k\theta)$ である。

(3) $1 + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta) = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin\theta}$ を証明する。

左辺を $A$ とすると、

$A = 1 + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta) = 1 + 2(\cos(2\theta) + \cos(4\theta) + \dots + \cos(2n\theta))$

$\sin\theta A = \sin\theta + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta)\sin\theta = \sin\theta + \sum_{k=1}^{n} 2\cos(2k\theta)\sin\theta$

ここで、$2\cos a \sin b = \sin(a+b) - \sin(a-b)$ を用いると、

$2\cos(2k\theta)\sin\theta = \sin((2k+1)\theta) - \sin((2k-1)\theta)$

したがって、

$\sin\theta A = \sin\theta + \sum_{k=1}^{n} [\sin((2k+1)\theta) - \sin((2k-1)\theta)]$

$\sin\theta A = \sin\theta + [\sin(3\theta) - \sin(\theta)] + [\sin(5\theta) - \sin(3\theta)] + \dots + [\sin((2n+1)\theta) - \sin((2n-1)\theta)]$

$\sin\theta A = \sin((2n+1)\theta)$

$A = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin\theta}$

よって、等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $z^{-1}S - zS = z^{-2n-1} - z^{2n+1}$

(2) $z^{-k} + z^k$ の実部は $2\cos(k\theta)$ であり、$z^{-k} - z^k$ の虚部は $-2\sin(k\theta)$ である。

(3) $1 + 2\sum_{k=1}^{n} \cos(2k\theta) = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin\theta}$