与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。 (1) $a=b$ ならば $a+c=b+c$ (2) $ac=bc$ ならば $a=b$ (3) $\frac{b}{a} < 1$ ならば $b < a$ (4) $x^2 \neq 0$ ならば $x \neq 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。

(1) $a=b$ ならば $a+c=b+c$

(2) $ac=bc$ ならば $a=b$

(3) $\frac{b}{a} < 1$ ならば $b < a$

(4) $x^2 \neq 0$ ならば $x \neq 0$

2. 解き方の手順

各命題について、真であるか偽であるかを判断します。偽である場合は、その命題が成り立たないような反例を挙げます。

(1) $a=b$ ならば $a+c=b+c$

これは真です。$a=b$ であるとき、両辺に同じ数 $c$ を加えても等式は成立します。

(2) $ac=bc$ ならば $a=b$

これは偽です。反例として、$a=1$, $b=2$, $c=0$ を考えます。このとき、$ac = 1 \cdot 0 = 0$ であり、$bc = 2 \cdot 0 = 0$ なので、$ac=bc$ が成り立ちますが、$a=b$ (つまり $1=2$) は成り立ちません。

(3) $\frac{b}{a} < 1$ ならば $b < a$

これは偽です。反例として、$a=-1$, $b=-2$ を考えます。このとき、$\frac{b}{a} = \frac{-2}{-1} = 2$ なので、$\frac{b}{a} < 1$ は成り立ちません。また、$a=1$, $b=-2$ のとき、$\frac{b}{a} = -2 < 1$ ですが、$b < a$、つまり$-2 < 1$ は成り立ちます。

ただし、$a$が負の値の場合は不等号の向きが変わります。

例えば、$a = -1$, $b = 2$とすると、$\frac{b}{a} = \frac{2}{-1} = -2 < 1$ ですが、$b < a$、つまり$2 < -1$ は成り立ちません。

(4) $x^2 \neq 0$ ならば $x \neq 0$

これは真です。$x^2 \neq 0$ であることは、$x \neq 0$ であることと同値です。$x=0$ であれば、$x^2 = 0$ となり、$x^2 \neq 0$ に反します。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽 (反例: $a=1$, $b=2$, $c=0$)

(3) 偽 (反例: $a=-1$, $b=2$)

(4) 真