与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ について、 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフを表す関数を $y=g(x)$ とする。$y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$g(x)$ の最小値が $4$ であるとき、$a$ の値を求める。ただし、$a$ は正の定数である。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ について、

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフを表す関数を $y=g(x)$ とする。$y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$g(x)$ の最小値が $4$ であるとき、$a$ の値を求める。ただし、$a$ は正の定数である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11 = (x-1)^2 - 1 - a^2 - a + 11 = (x-1)^2 - a^2 - a + 10$

よって、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフは、$y = f(x-3) - 4$ で表される。これが $y = g(x)$ なので、

$g(x) = f(x-3) - 4 = (x-3)^2 - 2(x-3) - a^2 - a + 11 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - a^2 - a + 7 = x^2 - 8x - a^2 - a + 22$

$g(x)$ を平方完成すると、

$g(x) = (x-4)^2 - 16 - a^2 - a + 22 = (x-4)^2 - a^2 - a + 6$

よって、$y=g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(4, -a^2 - a + 6)$

また、$g(x)$ の最小値は $-a^2 - a + 6$ であり、これが $4$ に等しいので、

$-a^2 - a + 6 = 4$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2, 1$

$a$ は正の定数なので、$a=1$

3. 最終的な答え

(1) $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) 頂点の座標: $(4, -a^2 - a + 6)$, $a=1$