二次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2$ とする。以下の命題をケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ を用いて証明する。 (1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$ であることを示す。 (2) $A$ が正則行列であるための必要十分条件は、$\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ であることを示す。 (3) $A^2 = O$ であるための必要十分条件は、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ であることを示す。

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2. 二次正方行列 A の固有値に関する問題

1. **問題の内容**

二次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2$ とする。以下の命題をケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ を用いて証明する。

(1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$ であることを示す。

(2) $A$ が正則行列であるための必要十分条件は、$\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ であることを示す。

(3) $A^2 = O$ であるための必要十分条件は、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ であることを示す。

2. **解き方の手順**

(1) ケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ において、$A$ の固有値 $\lambda$ に対して、$A^2 v = \lambda^2 v$、$Av = \lambda v$、$Iv = v$ が成り立つ。ただし、$v$ は $A$ の固有ベクトルである。

したがって、固有値 $\lambda_1$、$\lambda_2$ について、

$\lambda_1^2 - (tr A)\lambda_1 + det A = 0$

$\lambda_2^2 - (tr A)\lambda_2 + det A = 0$

これらは固有方程式 $\lambda^2 - (tr A)\lambda + det A = 0$ の解である。解と係数の関係より、$\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$ が成り立つ。

(2) $A$ が正則行列である必要十分条件は $det A \neq 0$ である。 (1) より $det A = \lambda_1 \lambda_2$ であるから、$A$ が正則行列である必要十分条件は $\lambda_1 \lambda_2 \neq 0$ である。これは $\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ と同値である。

(3) $A^2 = O$ であるとする。(1)のケーリー・ハミルトンの定理より、

$O = A^2 - (tr A)A + (det A)I = -(tr A)A + (det A)I$

ここで、$A^2=O$より$A^2v = Ov = 0$となる固有ベクトル$v$が存在しないといけない。

(1)より$tr A = \lambda_1 + \lambda_2$および$det A = \lambda_1 \lambda_2$であるから、

$A^2 = O$であるとき, $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$であることが必要十分条件となる。

3. **最終的な答え**

(1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$

(2) $A$ が正則行列であるための必要十分条件は $\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$

(3) $A^2 = O$ であるための必要十分条件は $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$

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3. 対角化された行列に関する問題

1. **問題の内容**

正則行列 $P$ を用いて、行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとする。以下の問いに答える。

(1) $det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$ であることを示す。

(2) $det(P^{-1}AP) = det A$ であることを示す。

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値であることを示す。

2. **解き方の手順**

(1) $P^{-1}P = I$ であるから、$det(P^{-1}P) = det(I) = 1$。行列式の性質より、$det(P^{-1}P) = det(P^{-1}) det(P)$。したがって、$det(P^{-1}) det(P) = 1$。よって、$det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$。

(2) 行列式の性質より、$det(P^{-1}AP) = det(P^{-1}) det(A) det(P)$。 (1) より、$det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$ であるから、$det(P^{-1}AP) = (det P)^{-1} det(A) det(P) = det(A)$。

(3) $det(P^{-1}AP) = det A$ であるから、$det \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \alpha \beta = det A$。対角行列の固有値は対角成分である。したがって、$\alpha$ と $\beta$ は行列 $P^{-1}AP$ の固有値である。 $A$ と $P^{-1}AP$ は相似であるため、固有値は一致する。ゆえに、$\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である。

あるいは、問題2(1)より、Aの固有値の積がdet Aであることと、対角化された行列の積がdet Aであることを示すことでも良い。

3. **最終的な答え**

(1) $det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$

(2) $det(P^{-1}AP) = det A$

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である