与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された定義域内で求めよ。 (1) $y = 2(x+1)(x-4), \quad -1 \le x \le 4$ (2) $y = -2x^2 + x, \quad x \ge -1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された定義域内で求めよ。

(1) $y = 2(x+1)(x-4), \quad -1 \le x \le 4$

(2) $y = -2x^2 + x, \quad x \ge -1$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x+1)(x-4), \quad -1 \le x \le 4$

まず、関数を展開して標準形に変形します。

$y = 2(x^2 - 3x - 4) = 2x^2 - 6x - 8 = 2(x^2 - 3x) - 8$

次に、$x^2 - 3x$ を平方完成します。

$x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

これを代入すると、

$y = 2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 8 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 8 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{2}$

したがって、頂点は$(\frac{3}{2}, -\frac{25}{2})$。定義域は$-1 \le x \le 4$。

$x = \frac{3}{2}$のとき、最小値$y = -\frac{25}{2}$。

次に、定義域の両端での値を計算します。

$x = -1$のとき、$y = 2(-1+1)(-1-4) = 0$

$x = 4$のとき、$y = 2(4+1)(4-4) = 0$

よって、最大値は0 ($x = -1, 4$のとき)。最小値は$-\frac{25}{2}$ ($x = \frac{3}{2}$のとき)。

(2) $y = -2x^2 + x, \quad x \ge -1$

関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) = -2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

したがって、頂点は$(\frac{1}{4}, \frac{1}{8})$。定義域は$x \ge -1$。

$x = \frac{1}{4}$のとき、最大値$y = \frac{1}{8}$。

次に、$x = -1$のときの値を計算します。

$y = -2(-1)^2 + (-1) = -2 - 1 = -3$

$x$が増加すると、$y$は$\frac{1}{4}$まで増加し、その後減少します。

$x \ge -1$の範囲で、$y$は最大値$\frac{1}{8}$を持ち、$x$が増加するにつれて減少するため、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 0 ($x=-1, 4$のとき), 最小値: $-\frac{25}{2}$ ($x=\frac{3}{2}$のとき)

(2) 最大値: $\frac{1}{8}$ ($x=\frac{1}{4}$のとき), 最小値: なし