自然公園が川によって東西のエリアに分かれており、鹿が生息している。毎年、東エリアの鹿の1/5が西エリアに移動し、西エリアの鹿の1/3が東エリアに移動する。長期間が経過した後、鹿の分布がどのようになるかを求める問題です。ただし、鹿の総数は毎年一定であるとします。

1. 問題の内容

自然公園が川によって東西のエリアに分かれており、鹿が生息している。毎年、東エリアの鹿の1/5が西エリアに移動し、西エリアの鹿の1/3が東エリアに移動する。長期間が経過した後、鹿の分布がどのようになるかを求める問題です。ただし、鹿の総数は毎年一定であるとします。

2. 解き方の手順

鹿の総数を $N$ とします。東エリアに生息する鹿の数を $x$、西エリアに生息する鹿の数を $y$ とすると、$x + y = N$ が常に成り立ちます。

1年後、東エリアから西エリアに $x/5$ が移動し、西エリアから東エリアに $y/3$ が移動します。したがって、1年後の東エリアの鹿の数は $x - x/5 + y/3 = (4/5)x + (1/3)y$ となります。長期間が経過した後、鹿の分布は変化しなくなるため、東エリアの鹿の数は変化しなくなります。つまり、

$x = (4/5)x + (1/3)y$

が成り立ちます。

この式を整理すると、

$(1/5)x = (1/3)y$

$3x = 5y$

となります。

$x + y = N$ の関係から、$y = N - x$ なので、これを代入すると、

$3x = 5(N - x)$

$3x = 5N - 5x$

$8x = 5N$

$x = (5/8)N$

となります。

したがって、$y = N - x = N - (5/8)N = (3/8)N$ となります。

3. 最終的な答え

長期間後、東エリアに生息する鹿の数は鹿全体の $5/8$、西エリアに生息する鹿の数は鹿全体の $3/8$ となります。