$a \ne 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$1 \le x \le 4$）の最大値が6で、最小値が-2であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \ne 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$1 \le x \le 4$）の最大値が6で、最小値が-2であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 - 4ax + b$ を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + b$

$y = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b$

$y = a((x - 2)^2 - 4) + b$

$y = a(x - 2)^2 - 4a + b$

このグラフは $x = 2$ を軸とする放物線です。定義域は $1 \le x \le 4$ なので、軸は定義域に含まれます。

(1) $a > 0$ のとき

下に凸の放物線になるので、$x = 2$ で最小値をとり、$x = 4$ で最大値をとります。

$x = 2$ のとき $y = -4a + b = -2$

$x = 4$ のとき $y = a(4 - 2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b = 6$

$-4a + 6 = -2$

$-4a = -8$

$a = 2$

これは $a > 0$ を満たします。

(2) $a < 0$ のとき

上に凸の放物線になるので、$x = 2$ で最大値をとり、$x = 4$ または $x = 1$ で最小値をとります。

$x = 2$ のとき $y = -4a + b = 6$

$x = 1$ のとき $y = a(1 - 2)^2 - 4a + b = a - 4a + b = -3a + b$

$x = 4$ のとき $y = a(4 - 2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b$

$a < 0$ のとき、$x = 4$ で最小値-2をとるとすると、$b = -2$

$-4a + b = 6$ なので $-4a - 2 = 6$

$-4a = 8$

$a = -2$

これは $a < 0$ を満たします。

$x = 1$で最小値-2をとるとすると、$-3a + b = -2$

$-4a + b = 6$と合わせて連立方程式を解くと、

$-3a+b=-2$

$-4a+b=6$

引き算をすると$a=-8$となる。

これを$-4a + b = 6$に代入すると、$-4(-8) + b = 6$

$32 + b = 6$

$b = -26$

これは$a<0$を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 6$ または $a = -2$, $b = -2$ または $a = -8$, $b = -26$