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相異なる実数$\alpha$と$\beta$が連立方程式 $\begin{cases} \alpha^2 + \sqrt{3}\beta = \sqrt{6} \\ \beta^2 + \sqrt{3}\alpha = \sqrt{6} \end{cases}$ を満たすとき、$\alpha + \beta$, $\alpha\beta$, $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$の値を求める。

代数学連立方程式対称式解の公式式の計算
2025/6/22

1. 問題の内容

相異なる実数α\alphaとβ\betaが連立方程式
$\begin{cases}
\alpha^2 + \sqrt{3}\beta = \sqrt{6} \\
\beta^2 + \sqrt{3}\alpha = \sqrt{6}
\end{cases}$
を満たすとき、α+β\alpha + \beta, αβ\alpha\beta, βα+αβ\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式から、α2+3β=β2+3α\alpha^2 + \sqrt{3}\beta = \beta^2 + \sqrt{3}\alphaが成り立つ。この式を変形すると、
α2−β2+3(β−α)=0\alpha^2 - \beta^2 + \sqrt{3}(\beta - \alpha) = 0
(α−β)(α+β)−3(α−β)=0(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) - \sqrt{3}(\alpha - \beta) = 0
(α−β)(α+β−3)=0(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - \sqrt{3}) = 0
α\alphaとβ\betaは相異なるので、α≠β\alpha \neq \betaである。したがって、α−β≠0\alpha - \beta \neq 0なので、α+β−3=0\alpha + \beta - \sqrt{3} = 0となる。
よって、α+β=3\alpha + \beta = \sqrt{3}.
与えられた連立方程式の1つ目の式から2つ目の式を引くと、
α2−β2+3(β−α)=0\alpha^2 - \beta^2 + \sqrt{3}(\beta - \alpha) = 0
(α−β)(α+β)+3(β−α)=0(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + \sqrt{3}(\beta - \alpha) = 0
(α−β)(α+β)−3(α−β)=0(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) - \sqrt{3}(\alpha - \beta) = 0
(α−β)(α+β−3)=0(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - \sqrt{3}) = 0
連立方程式の1つ目の式から2つ目の式を引くのではなく、連立方程式の1つ目の式と2つ目の式を足すことを考える。
α2+β2+3(α+β)=26\alpha^2 + \beta^2 + \sqrt{3}(\alpha + \beta) = 2\sqrt{6}
(α+β)2−2αβ+3(α+β)=26(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta + \sqrt{3}(\alpha + \beta) = 2\sqrt{6}
α+β=3\alpha + \beta = \sqrt{3}なので、
(3)2−2αβ+3(3)=26(\sqrt{3})^2 - 2\alpha\beta + \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}
3−2αβ+3=263 - 2\alpha\beta + 3 = 2\sqrt{6}
6−2αβ=266 - 2\alpha\beta = 2\sqrt{6}
−2αβ=26−6-2\alpha\beta = 2\sqrt{6} - 6
αβ=3−6\alpha\beta = 3 - \sqrt{6}.
βα+αβ=α2+β2αβ=(α+β)2−2αβαβ\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}
α+β=3\alpha + \beta = \sqrt{3}、αβ=3−6\alpha\beta = 3 - \sqrt{6}なので、
βα+αβ=(3)2−2(3−6)3−6=3−6+263−6=26−33−6\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2(3 - \sqrt{6})}{3 - \sqrt{6}} = \frac{3 - 6 + 2\sqrt{6}}{3 - \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} - 3}{3 - \sqrt{6}}
26−33−6=(26−3)(3+6)(3−6)(3+6)=66+12−9−369−6=36+33=6+1\frac{2\sqrt{6} - 3}{3 - \sqrt{6}} = \frac{(2\sqrt{6} - 3)(3 + \sqrt{6})}{(3 - \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})} = \frac{6\sqrt{6} + 12 - 9 - 3\sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{3\sqrt{6} + 3}{3} = \sqrt{6} + 1

3. 最終的な答え

α+β=3\alpha + \beta = \sqrt{3}
αβ=3−6\alpha\beta = 3 - \sqrt{6}
βα+αβ=1+6\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = 1 + \sqrt{6}

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