$0 < a < b$ かつ $a + b = 1$ のとき、$b > a^2 + b^2$ を示す。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ かつ $a + b = 1$ のとき、$b > a^2 + b^2$ を示す。

2. 解き方の手順

$a + b = 1$ より、$a = 1 - b$ である。$0 < a < b$ より、$0 < 1 - b < b$。

$1 - b < b$ より、$1 < 2b$、すなわち、$b > \frac{1}{2}$。

また、$1 - b > 0$ より、$b < 1$。よって、$\frac{1}{2} < b < 1$。

$b > a^2 + b^2$ を示すために、$b - (a^2 + b^2) > 0$ を示す。

$a = 1 - b$ を代入すると、

$b - ((1 - b)^2 + b^2) = b - (1 - 2b + b^2 + b^2) = b - (1 - 2b + 2b^2) = b - 1 + 2b - 2b^2 = -2b^2 + 3b - 1 = -(2b - 1)(b - 1)$

ここで、$\frac{1}{2} < b < 1$ より、$2b - 1 > 0$ かつ $b - 1 < 0$。

したがって、$-(2b - 1)(b - 1) > 0$。

よって、$b > a^2 + b^2$ が示された。

3. 最終的な答え

$b > a^2 + b^2$