(1) 2つの行列 $ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} $ と $ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $ の逆行列を求めよ。 (2) 行列 $ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} $、行列 $ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $、行列 $ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $ が与えられたとき、等式 $ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $ を満たす正方行列 $M$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2つの行列 $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めよ。

(2) 行列 $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$、行列 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$、行列 $\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、等式 $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ を満たす正方行列 $M$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は、$\det(A) = ad - bc \neq 0$ のとき、

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ で与えられる。

行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、$\det(A) = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 6 = 15 - 12 = 3$ であるから、

$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -6 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix}$

行列 $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、$\det(B) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7$ であるから、

$B^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix}$

(2)

与えられた等式を $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ とおく。

(1)の結果を利用して、

$\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$

$I M I = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$

$M = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$

$\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -6 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

なので、

$M = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{21} \begin{bmatrix} 3-4 & -9-8 \\ -6+10 & 18+20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

$M = \frac{1}{21} \begin{bmatrix} -1 & -17 \\ 4 & 38 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{21} \begin{bmatrix} -3+17 & -1-34 \\ 12-38 & 4+76 \end{bmatrix} = \frac{1}{21} \begin{bmatrix} 14 & -35 \\ -26 & 80 \end{bmatrix}$

$M = \begin{bmatrix} 14/21 & -35/21 \\ -26/21 & 80/21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/3 & -5/3 \\ -26/21 & 80/21 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix}$

(2)

$M = \begin{bmatrix} 2/3 & -5/3 \\ -26/21 & 80/21 \end{bmatrix}$