与えられた行列 $A, B, C, D$ に対して、以下の行列を計算する。 (1) $3A-2B$ (2) $BC$ (3) $CD$ (4) $DB$ (5) $A^2$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A, B, C, D$ に対して、以下の行列を計算する。

(1) $3A-2B$

(2) $BC$

(3) $CD$

(4) $DB$

(5) $A^2$

2. 解き方の手順

(1) $3A-2B$

まず、$3A$ と $2B$ を計算する。

$3A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}$

$2B = 2 \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$

したがって、$3A-2B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-6 & 6-4 \\ 3-2 & 9-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $BC$

$B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ と $C = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ の積を計算する。

$BC = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3*3+2*2 & 3*(-2)+2*1 \\ 1*3+4*2 & 1*(-2)+4*1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+4 & -6+2 \\ 3+8 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & -4 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}$

(3) $CD$

$C = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ と $D = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -6 & 9 \\ 10 & -8 \end{bmatrix}$の積を計算する。

$C$は2x2行列、$D$は3x2行列なので、$CD$は定義されない。

(4) $DB$

$D = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -6 & 9 \\ 10 & -8 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ の積を計算する。

$DB = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -6 & 9 \\ 10 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5*3+(-7)*1 & 5*2+(-7)*4 \\ (-6)*3+9*1 & (-6)*2+9*4 \\ 10*3+(-8)*1 & 10*2+(-8)*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15-7 & 10-28 \\ -18+9 & -12+36 \\ 30-8 & 20-32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -18 \\ -9 & 24 \\ 22 & -12 \end{bmatrix}$

(5) $A^2$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ の2乗を計算する。

$A^2 = A*A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1+2*1 & 1*2+2*3 \\ 1*1+3*1 & 1*2+3*3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+6 \\ 1+3 & 2+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $3A-2B = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $BC = \begin{bmatrix} 13 & -4 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}$

(3) $CD$: 定義されない

(4) $DB = \begin{bmatrix} 8 & -18 \\ -9 & 24 \\ 22 & -12 \end{bmatrix}$

(5) $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{bmatrix}$