与えられた行列 $X$, $Y$, $Z$ に対して、以下の問いに答える。 (1) 行列 $X$ の転置行列を求める。 (2) 行列 $Y$ が対称行列となるように、$a$ と $b$ の値を定める。 (3) 行列 $Z$ が交代行列となるように、$c$ と $d$ の値を定める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $X$, $Y$, $Z$ に対して、以下の問いに答える。

(1) 行列 $X$ の転置行列を求める。

(2) 行列 $Y$ が対称行列となるように、$a$ と $b$ の値を定める。

(3) 行列 $Z$ が交代行列となるように、$c$ と $d$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $X$ の転置行列 $X^T$ は、$X$ の行と列を入れ替えることで得られる。

$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ なので、

$X^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $Y$ が対称行列であるとは、$Y = Y^T$ が成り立つことである。つまり、$Y_{ij} = Y_{ji}$ が全ての $i$ と $j$ に対して成り立つ。

$Y = \begin{bmatrix} -3 & 1 & a \\ b & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 7 \end{bmatrix}$ なので、

$Y^T = \begin{bmatrix} -3 & b & -2 \\ 1 & 5 & 4 \\ a & 4 & 7 \end{bmatrix}$

$Y = Y^T$ となるためには、$b = 1$ かつ $a = -2$ でなければならない。

(3) 行列 $Z$ が交代行列であるとは、$Z = -Z^T$ が成り立つことである。つまり、$Z_{ij} = -Z_{ji}$ が全ての $i$ と $j$ に対して成り立つ。特に、$Z_{ii} = 0$ である必要がある。

$Z = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 3 \\ 5 & 0 & c \\ -3 & 2 & d \end{bmatrix}$ なので、

$Z^T = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -3 \\ -5 & 0 & 2 \\ 3 & c & d \end{bmatrix}$

$Z = -Z^T$ となるためには、

$-5 = -(-5)$ （これは成り立つ）

$3 = -(-3)$ （これも成り立つ）

$c = -2$

$d = -d$

したがって、$d = 0$ でなければならない。

$c = -2$ および $d = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $X$ の転置行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

(2) $Y$ が対称行列になるための $a$ と $b$ の値は、

$a = -2$, $b = 1$

(3) $Z$ が交代行列になるための $c$ と $d$ の値は、

$c = -2$, $d = 0$