問題は次の2つの数列の和を求めることです。 (1) $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$ (2) $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

1. 問題の内容

問題は次の2つの数列の和を求めることです。

(1) $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

(2) $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一般項を求めます。第k項は $3k(k+1)$ と表せます。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^n 3k(k+1)$ です。

$\sum_{k=1}^n 3k(k+1) = 3 \sum_{k=1}^n (k^2 + k) = 3 \left( \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k \right)$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、

$3 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right) = 3 \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} \right)$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{3n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{2} = n(n+1)(n+2)$

(2)

一般項は $k(2k-1)$ と表せます。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^n k(2k-1)$ です。

$\sum_{k=1}^n k(2k-1) = \sum_{k=1}^n (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k$

$= 2 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+1)(n+2)$

(2) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$