4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a < b < c < d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a < b < c < d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は全て異なる数字である必要があり、また $a$ は 1 から 9 のいずれかの値を取り、$b, c, d$ は 0 から 9 のいずれかの値を取る。

$0$ から $9$ までの 10 個の数字の中から異なる4つの数字を選ぶと、大小関係によって並び方は一意に決まる。したがって、求める個数は10個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

$_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 3 \times 7}{1} = 210$

(2) $a < b < c < d$ の場合

$a$ は 0 以外の 1 から 9 のいずれかの値を取る。また $b, c, d$ も 0 から 9 のいずれかの値を取る。

$a, b, c, d$ は全て異なる数字である必要があり、また $a$ は 0 ではないので、$1$ から $9$ までの9個の数字から異なる4つの数字を選び、小さい順に $a, b, c, d$ とすれば良い。したがって、求める個数は9個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

$_9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 2 \times 7}{1} = 126$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 126個