数列 $\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, 1, \dots$ があります。この数列の左から41番目の分数を求めます。ただし、数列は$\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, \frac{5}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5}, \dots$のように、5番目以降は分母が5の分数で続いていることが示唆されています。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, 1, \dots$ があります。この数列の左から41番目の分数を求めます。ただし、数列は$\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, \frac{5}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5}, \dots$のように、5番目以降は分母が5の分数で続いていることが示唆されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の規則性を探します。

最初の5項は、$\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, 1 = \frac{5}{5}$です。

6番目以降は、分母が5の分数として、$\frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5}, \dots$と続きます。

つまり、6番目以降は、分子が2ずつ増加する等差数列になっています。

41番目の分数を求めるために、まず、分母が5の分数のうち、何番目の項になるかを考えます。

最初の5項は分母が5ではありません。したがって、分母が5の分数は、数列全体の6番目から始まります。

41番目の分数は、分母が5である分数のうち、41 - 5 = 36番目の項です。

分母が5の分数の数列は、$\frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5}, \dots$であり、初項は$\frac{7}{5}$です。

分母が5の分数の分子は、$7, 8, 9, 11, 12, \dots$と並んでおり、これは等差数列ではありません。しかし、6項目以降は、$\frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5} \dots$ より、分母が5の分数だけを取り出して、その分子を調べると、$a_n$は、$a_n = 7 + (n-1)$ (ただし$n \leq 3$), $a_4 = 11, a_5 = 12$。この後はわからず、他に情報はないので、与えられた情報の範囲で考えます。分母が5の数列は$\frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \dots$であると解釈すると、

分母が5の分数の数列のn番目の項の分子は、$7 + (n-1) = n + 6$です。

したがって、36番目の項の分子は、36 + 6 = 42です。

3. 最終的な答え

したがって、41番目の分数は$\frac{42}{5}$です。