数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ が与えられています。 (1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か求めます。 (2) 第100項を求めます。 (3) 初項から第100項までの和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ が与えられています。

(1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か求めます。

(2) 第100項を求めます。

(3) 初項から第100項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性を見つけるために、数列をいくつかのグループに分けます。

第1グループ：1 (1項)

第2グループ：1, 4 (2項)

第3グループ：1, 4, 9 (3項)

第4グループ：1, 4, 9, 16 (4項)

第5グループ：1, 4, 9, 16, 25 (5項)

...

第$n$グループ：$1, 4, 9, ..., n^2$ ($n$項)

第$n$グループの最後の項は、$n^2$ です。したがって、$n^2$ が初めて現れるのは、第$n$グループの最後の項、つまり、第$1 + 2 + 3 + ... + n$項です。

等差数列の和の公式より、$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、$n^2$ が初めて現れるのは、第$\frac{n(n+1)}{2}$項です。

(2) 第100項がどのグループに属するかを調べます。

$\frac{n(n+1)}{2} \ge 100$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。

$n(n+1) \ge 200$

$n=13$ のとき $13 \times 14 = 182 < 200$

$n=14$ のとき $14 \times 15 = 210 \ge 200$

したがって、第100項は第14グループに属します。

第13グループの最後の項は、$\frac{13 \times 14}{2} = 91$ 項です。

第14グループは $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196$ です。

したがって、第100項は第14グループの $(100-91) = 9$ 番目の項です。

第14グループの9番目の項は $9^2 = 81$ です。

したがって、第100項は81です。

(3) 初項から第100項までの和を求めます。

第1グループから第13グループまでの項の和を求めます。

第$k$グループの和は $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ です。

第1グループから第13グループまでの項の和は、

$\sum_{k=1}^{13} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \sum_{k=1}^{13} \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{13} k^3 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{13} k^2 + \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{13} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

$\sum_{k=1}^{13} k = \frac{13 \times 14}{2} = 91$

$\sum_{k=1}^{13} k^2 = \frac{13 \times 14 \times 27}{6} = 13 \times 7 \times 9 = 819$

$\sum_{k=1}^{13} k^3 = \left( \frac{13 \times 14}{2} \right)^2 = (91)^2 = 8281$

したがって、第1グループから第13グループまでの和は、

$\frac{1}{3} (8281) + \frac{1}{2} (819) + \frac{1}{6} (91) = \frac{1}{6} (2 \times 8281 + 3 \times 819 + 91) = \frac{1}{6} (16562 + 2457 + 91) = \frac{19110}{6} = 3185$

第14グループの最初の9項は $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ です。

これらの和は $1+4+9+16+25+36+49+64+81 = 285$ です。

したがって、初項から第100項までの和は $3185 + 285 = 3470$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)}{2}$ 項

(2) 81

(3) 3470