問題は3つのパートに分かれています。 (1) 2から8までの数字から異なる3個を選んでできる3桁の整数の個数を求める。 (2) 男子4人、女子2人が1列に並ぶときの並び方の総数を、（1）女子2人が隣り合う並び方,（2）女子が両端にくる並び方,(3)男子が両端にくる並び方について求める。 (3) 8個の数字0,1,2,3,4,5,6,7のうちの異なる4個を並べてできる4桁の整数の個数を、（1）4桁の整数,（2）4桁の奇数,（3）4桁の偶数について求める。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) 2から8までの数字から異なる3個を選んでできる3桁の整数の個数を求める。

(2) 男子4人、女子2人が1列に並ぶときの並び方の総数を、（1）女子2人が隣り合う並び方,（2）女子が両端にくる並び方,(3)男子が両端にくる並び方について求める。

(3) 8個の数字0,1,2,3,4,5,6,7のうちの異なる4個を並べてできる4桁の整数の個数を、（1）4桁の整数,（2）4桁の奇数,（3）4桁の偶数について求める。

2. 解き方の手順

(1) 2から8までの数字は7個ある。異なる3個を選んで並べる順列なので、

$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$通り。

(2) 男子4人、女子2人が1列に並ぶとき

(1) 女子2人が隣り合う並び方：女子2人をまとめて1人と考える。すると、全体で5人の並び方になるので、$5!$通り。さらに、女子2人の並び方が$2!$通りあるので、

$5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$通り。

(2) 女子が両端にくる並び方：両端に女子が並ぶので、$2!$通り。残りの4人の男子は4!通りで並ぶので、

$2! \times 4! = 2 \times 24 = 48$通り。

(3) 男子が両端にくる並び方：両端に男子が並ぶので、$P(4,2) = 4 \times 3 = 12$通り。残りの4人（男子2人、女子2人）は4!通りで並ぶので、

$12 \times 4! = 12 \times 24 = 288$通り。

(3) 8個の数字0,1,2,3,4,5,6,7のうちの異なる4個を並べてできる4桁の整数

(1) 4桁の整数：千の位は0以外なので、7通り。残りの3桁は残りの7個から3個選んで並べるので、$P(7,3)$通り。

$7 \times P(7,3) = 7 \times 7 \times 6 \times 5 = 1470$通り。

(2) 4桁の奇数：一の位が奇数の場合を考える。奇数は1,3,5,7の4つ。

(i) 千の位が0でない場合: 一の位は奇数なので4通り。千の位は0と一の位で使った数以外なので6通り。残りの2桁は6個から2個選んで並べるので、$P(6,2)$通り。

$4 \times 6 \times P(6,2) = 4 \times 6 \times 6 \times 5 = 720$通り。

(ii) 千の位が0の場合：これはありえない。

したがって、4桁の奇数は720通り。

(3) 4桁の偶数：4桁の整数から4桁の奇数を引けば良い。

$1470 - 720 = 750$通り。

または、直接計算することも可能です。一の位が偶数の場合を考える。偶数は0,2,4,6の4つ。

(i) 一の位が0の場合: 千の位は0以外なので7通り。残りの2桁は6個から2個選んで並べるので、$P(7,2)$通り。

$1 \times 7 \times P(7,2) = 7 \times 7 \times 6 = 294$通り。

(ii) 一の位が0でない偶数の場合: 一の位は2,4,6の3通り。千の位は0と一の位で使った数以外なので6通り。残りの2桁は6個から2個選んで並べるので、$P(6,2)$通り。

$3 \times (6 \times P(6,2)) = 3 \times (6 \times 6 \times 5) = 3 \times 180 = 540$通り。

したがって、$294+456 = 750$通り

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2)

(1) 240通り

(2) 48通り

(3) 288通り

(3)

(1) 1470個

(2) 720個

(3) 750個