次の2つの問題について、与えられた数字から異なる4個を選び、4桁の整数を作る場合の数を求めます。 (1) 与えられた数字は1, 2, 3, 4, 5, 6 (2) 与えられた数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

1. 問題の内容

次の2つの問題について、与えられた数字から異なる4個を選び、4桁の整数を作る場合の数を求めます。

(1) 与えられた数字は1, 2, 3, 4, 5, 6

(2) 与えられた数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

2. 解き方の手順

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合

6つの数字から4つを選んで並べる順列を考えます。

これは ${}_6 P_4$ で計算できます。

${}_6 P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合

7つの数字から4つを選んで並べる順列を考えますが、先頭が0になる場合は4桁の整数にならないので、その分を引く必要があります。

まず、7つの数字から4つを選んで並べる順列は、${}_7 P_4$ で計算できます。

${}_7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

次に、先頭が0になる場合を考えます。先頭を0に固定し、残りの3桁を6つの数字から選んで並べる順列は、${}_6 P_3$ で計算できます。

${}_6 P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

したがって、4桁の整数となるのは、${}_7 P_4 - {}_6 P_3 = 840 - 120 = 720$

3. 最終的な答え

(1) 360個

(2) 720個