5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使って、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。 (1) 3桁の自然数 (2) 3桁以下の自然数 (3) 123より小さい自然数

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使って、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。

(1) 3桁の自然数

(2) 3桁以下の自然数

(3) 123より小さい自然数

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数

3桁の自然数を作るためには、百の位は0以外の数字(1, 2, 3, 4)から選ぶ必要があります。十の位と一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれの数字でも選ぶことができます。

百の位の選び方は4通り、十の位の選び方は5通り、一の位の選び方は5通りです。したがって、3桁の自然数の個数は$4 \times 5 \times 5 = 100$個です。

(2) 3桁以下の自然数

3桁以下とは、1桁、2桁、3桁の自然数のことです。

1桁の自然数は1, 2, 3, 4の4個です。

2桁の自然数は、十の位は0以外の数字(1, 2, 3, 4)から選び、一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれの数字でも選ぶことができます。

十の位の選び方は4通り、一の位の選び方は5通りです。したがって、2桁の自然数の個数は$4 \times 5 = 20$個です。

3桁の自然数の個数は(1)より100個です。

したがって、3桁以下の自然数の個数は$4 + 20 + 100 = 124$個です。

(3) 123より小さい自然数

1桁の自然数は1, 2, 3, 4の4個です。これらはすべて123より小さいです。

2桁の自然数は、10から99までの自然数です。123より小さいかどうかを考える必要があります。

2桁の自然数は、十の位が1の場合、一の位は0, 1, 2です。よって、10, 11, 12の3個です。

十の位が2, 3, 4の場合、2桁の数は全て123より小さいです。十の位が2, 3, 4の時の一の位の選び方はそれぞれ5通りなので、$3\times 5=15$個です。

2桁の自然数で123より小さいものは$3+15=18$個です。

3桁の自然数のうち、123より小さいものを考えます。百の位が1である必要があります。十の位が0, 1の場合、一の位は何でもよいので、それぞれ5通りです。十の位が2の場合、一の位は0, 1, 2しか選べません。よって、$5+5+3 = 13$個です。

123より小さい自然数は$4 + 18 + 13 = 35$個です。

3. 最終的な答え

(1) 3桁の自然数：100個

(2) 3桁以下の自然数：124個

(3) 123より小さい自然数：35個