$\frac{108}{n}$ の平方根が整数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{108}{n}$ の平方根が整数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{108}{n}$ の平方根が整数になるということは、$\frac{108}{n}$ がある整数の2乗になるということです。つまり、

$\frac{108}{n} = k^2$ ( $k$ は整数)

と表せるということです。これから、

$n = \frac{108}{k^2}$

となります。ここで、$n$ は自然数なので、$k^2$ は108の約数でなければなりません。また、$k$ は整数なので、$k^2$ は平方数でなければなりません。そこで、108の約数の中で平方数であるものを探します。

108を素因数分解すると、

$108 = 2^2 \times 3^3$

となります。

108の約数は、

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108

です。

この中で平方数であるものは、

1, 4, 9, 36

です。

それぞれの平方数に対して、$n$ を求めます。

* $k^2 = 1$ のとき、$n = \frac{108}{1} = 108$

* $k^2 = 4$ のとき、$n = \frac{108}{4} = 27$

* $k^2 = 9$ のとき、$n = \frac{108}{9} = 12$

* $k^2 = 36$ のとき、$n = \frac{108}{36} = 3$

したがって、$n$ は 3, 12, 27, 108 です。

3. 最終的な答え

3, 12, 27, 108