与えられた画像に含まれる複数の問題のうち、以下の問題を解きます。 * 問題1 (1): 正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。 * 問題1 (2): 立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。 * 問題4 (1): 5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる4桁の自然数は何個あるか。ただし、同じ数字を重複して使ってもよい。 * 問題4 (2): 5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる4桁以下の自然数は何個あるか。ただし、同じ数字を重複して使ってもよい。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた画像に含まれる複数の問題のうち、以下の問題を解きます。

* 問題1 (1): 正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

* 問題1 (2): 立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

* 問題4 (1): 5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる4桁の自然数は何個あるか。ただし、同じ数字を重複して使ってもよい。

* 問題4 (2): 5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる4桁以下の自然数は何個あるか。ただし、同じ数字を重複して使ってもよい。

2. 解き方の手順

問題1 (1):

正四角錐の塗り分けの問題です。まず、底面の色を決めます。5色の中から1色を選ぶので、5通りあります。底面の色が決まると、側面の4つの面は円順列になります。残りの4色を円順列に並べる方法は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。したがって、正四角錐の塗り分け方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

問題1 (2):

立方体の塗り分けの問題です。まず、底面の色を決めます。6色の中から1色を選ぶので、6通りあります。次に、上面の色を決めます。残りの5色の中から1色を選ぶので、5通りあります。側面の4つの面は円順列になります。残りの4色を円順列に並べる方法は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。ただし、立方体を回転させると同じ塗り方になる場合があるので、それを考慮する必要があります。底面と上面の色が決まると、側面は円順列となるので、回転対称性による重複はありません。したがって、立方体の塗り分け方は $6 \times 5 \times 6 = 180$ 通りですが、立方体の回転を考慮すると、30通りになります。

問題4 (1):

4桁の自然数を作る問題です。千の位には0以外の4つの数字(1,2,3,4)のどれかが入ります。百の位、十の位、一の位には0,1,2,3,4の5つの数字のどれかが入ります。したがって、4桁の自然数の個数は $4 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$ 個です。

問題4 (2):

4桁以下の自然数を作る問題です。1桁、2桁、3桁、4桁の自然数の個数をそれぞれ求め、それらを足し合わせます。

* 1桁の自然数: 0以外の4つの数字(1,2,3,4)から選ぶので、4個です。

* 2桁の自然数: 十の位には0以外の4つの数字のどれかが入り、一の位には5つの数字のどれかが入るので、$4 \times 5 = 20$ 個です。

* 3桁の自然数: 百の位には0以外の4つの数字のどれかが入り、十の位、一の位には5つの数字のどれかが入るので、$4 \times 5 \times 5 = 100$ 個です。

* 4桁の自然数: 問題4(1)より、500個です。

したがって、4桁以下の自然数の個数は $4 + 20 + 100 + 500 = 624$ 個です。

3. 最終的な答え

* 問題1 (1): 30通り

* 問題1 (2): 30通り

* 問題4 (1): 500個

* 問題4 (2): 624個