5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作ります。 (1) 3の倍数は何個作れるか。 (2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作ります。

(1) 3の倍数は何個作れるか。

(2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数について

3桁の整数が3の倍数になるのは、各桁の数字の和が3の倍数になるときです。

まず、0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選び、その和が3の倍数になる組み合わせを考えます。

組み合わせは以下の通りです。

* 0, 1, 2 和は3

* 0, 2, 4 和は6

* 1, 2, 3 和は6

* 2, 3, 4 和は9

* 0, 3, 3 は同じ数字が含まれるため除外

* 1, 3, 4 和は8　３の倍数ではないので除外

* 0, 1, 4　和は5　３の倍数ではないので除外

次に、それぞれの組み合わせで3桁の整数が何個作れるかを考えます。

* 0, 1, 2の場合：百の位は1か2なので、2通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。よって$2 \times 2 \times 1 = 4$個

* 0, 2, 4の場合：百の位は2か4なので、2通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。よって$2 \times 2 \times 1 = 4$個

* 1, 2, 3の場合：百の位は1, 2, 3のどれかなので、3通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。よって$3 \times 2 \times 1 = 6$個

* 2, 3, 4の場合：百の位は2, 3, 4のどれかなので、3通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。よって$3 \times 2 \times 1 = 6$個

したがって、3の倍数は$4 + 4 + 6 + 6 = 20$個です。

(2) 42番目の数について

小さい方から順に並べるので、まず百の位が小さい順に並べていきます。

百の位が1の場合：十の位と一の位は0, 2, 3, 4から2つ選ぶ。$4 \times 3 = 12$個

百の位が2の場合：十の位と一の位は0, 1, 3, 4から2つ選ぶ。$4 \times 3 = 12$個

百の位が3の場合：十の位と一の位は0, 1, 2, 4から2つ選ぶ。$4 \times 3 = 12$個

ここまでで、12 + 12 + 12 = 36個。

百の位が4の場合：

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432 となる。

42番目の数は、百の位が4の6番目の数になる。

百の位が4の場合、小さい順に並べると

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432。

よって42番目の数は413である。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 413