袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが3本、はずれくじが6本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、はずれくじの賞金は0円である。くじを1本引いたときの賞金を確率変数$X$とする。$X$の確率分布と期待値$E(X)=25$が与えられている。このとき、$X$の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが3本、はずれくじが6本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、はずれくじの賞金は0円である。くじを1本引いたときの賞金を確率変数$X$とする。$X$の確率分布と期待値$E(X)=25$が与えられている。このとき、$X$の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

標準偏差を求めるには、まず分散を求める必要があります。分散$V(X)$は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$で計算できます。

$E(X)$は問題文で与えられているので、$E(X^2)$を計算する必要があります。

$E(X^2)$は、$X^2$の期待値なので、各$X$の値の2乗にその確率を掛けたものを足し合わせることで求められます。つまり、

$E(X^2) = 100^2 \times \frac{1}{10} + 50^2 \times \frac{3}{10} + 0^2 \times \frac{6}{10}$

$= 10000 \times \frac{1}{10} + 2500 \times \frac{3}{10} + 0$

$= 1000 + 750 = 1750$

次に分散$V(X)$を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1750 - 25^2 = 1750 - 625 = 1125$

標準偏差$\sigma(X)$は分散の平方根なので、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \times 5} = 15\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$15\sqrt{5}$