生徒4人と先生3人がいる。 (1) この7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。 (2) この7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。 (3) この7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りか。 (4) この7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。

1. 問題の内容

生徒4人と先生3人がいる。

(1) この7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。

(2) この7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。

(3) この7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りか。

(4) この7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 生徒4人をひとまとめにして1人と考える。すると、先生3人と合わせて4人を並べることになるので、その並べ方は $4!$ 通り。生徒4人の並び方は $4!$ 通り。よって、求める並び方は $4! \times 4!$ 通り。

$4! \times 4! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 24 \times 24 = 576$

(2) まず生徒4人を並べる。その並べ方は $4!$ 通り。

生徒の間と両端の5か所のうち、3か所を選んで先生を並べる。その選び方は ${}_5 P_3$ 通り。

よって、求める並び方は $4! \times {}_5 P_3$ 通り。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

$4! \times {}_5 P_3 = 24 \times 60 = 1440$

(3) 生徒2人を選ぶ方法は ${}_4 C_2$ 通り。先生2人を選ぶ方法は ${}_3 C_2$ 通り。よって、求める選び方は ${}_4 C_2 \times {}_3 C_2$ 通り。

${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

${}_4 C_2 \times {}_3 C_2 = 6 \times 3 = 18$

(4) 7人から3人を選ぶ選び方は ${}_7 C_3$ 通り。3人とも生徒である選び方は ${}_4 C_3$ 通り。少なくとも1人が先生である選び方は、全体から3人とも生徒である選び方を引けばよいので、${}_7 C_3 - {}_4 C_3$ 通り。

${}_7 C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_4 C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

${}_7 C_3 - {}_4 C_3 = 35 - 4 = 31$

3. 最終的な答え

(1) 576通り

(2) 1440通り

(3) 18通り

(4) 31通り