袋の中に1, 2, 3, 4の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚入っている。この袋から3枚のカードを同時に取り出す。 (1) 取り出したカードに書かれている3つの数の和が10になる確率を求めよ。 (2) 取り出したカードに書かれている3つの数がすべて異なる確率を求めよ。 (3) 取り出したカードに書かれている3つの数のうち、最大の数をXとする。X = 4, 3, 2となる確率をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3, 4の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚入っている。この袋から3枚のカードを同時に取り出す。

(1) 取り出したカードに書かれている3つの数の和が10になる確率を求めよ。

(2) 取り出したカードに書かれている3つの数がすべて異なる確率を求めよ。

(3) 取り出したカードに書かれている3つの数のうち、最大の数をXとする。X = 4, 3, 2となる確率をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3枚のカードの数の合計が10になる組み合わせを考える。

考えられる組み合わせは以下の通り：

- 1 + 4 + 5 (5のカードは存在しないので不可)

- 1 + 3 + 6 (6のカードは存在しないので不可)

- 1 + 2 + 7 (7のカードは存在しないので不可)

- 2 + 3 + 5 (5のカードは存在しないので不可)

- 2 + 4 + 4

- 3 + 3 + 4

- 2 + 2 + 6 (6のカードは存在しないので不可)

- 1 + 1 + 8 (8のカードは存在しないので不可)

- 1 + 4 + 5 (5のカードは存在しないので不可)

- 3 + 3 + 4

- 2 + 4 + 4

つまり、組み合わせは (2, 4, 4) と (3, 3, 4) と (1, 2, 3, 4)となる。

これらの組み合わせについて、カードの取り出し方を考える。

- (2, 4, 4): 2のカードが1枚、4のカードが2枚なので、取り出し方は $_2C_1 \times _2C_2 = 2 \times 1 = 2$ 通り。

- (3, 3, 4): 3のカードが2枚、4のカードが1枚なので、取り出し方は $_2C_2 \times _2C_1 = 1 \times 2 = 2$ 通り。

- (1, 2, 3): 1のカードが1枚、2のカードが1枚、3のカードが1枚なので、取り出し方は$_2C_1 \times _2C_1 \times _2C_1 = 2\times2\times2 = 8$通り。

袋から3枚のカードを取り出す場合の総数は $_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

よって、求める確率は $\frac{2+2+8}{56} = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}$。

(2) 3つの数がすべて異なる組み合わせを考える。すなわち、1, 2, 3, 4から3つ選ぶ組み合わせ。

これは $_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。組み合わせは (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)。

それぞれの組み合わせについて、カードの取り出し方は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り。

よって、3つの数がすべて異なる取り出し方は $4 \times 8 = 32$ 通り。

求める確率は $\frac{32}{56} = \frac{4}{7}$。

(3) X = 4, 3, 2となる確率をそれぞれ求める。

- X = 4の場合：3枚のカードのうち少なくとも1枚が4で、残りの2枚は4以下。

- (4, 4, x): x = 1, 2, 3, 4。取り出し方は、2C2 * (2C1 + 2C1 + 2C1 + 0) = 2C2 * (6) = 1 * 3 =3通り

- (4, x, y): x,y < 4。 (4,1,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,2),(4,2,3),(4,3,3) 各2枚から選択の場合 (2C1*2C1*2C1 = 8)

$P(X=4)=\frac{2}{56}+\frac{2}{56}+\frac{2}{56}=\frac{2*3}{56} =$

組み合わせとしては、

(4,1,1) = 1

(4,1,2) = 4

(4,1,3) = 4

(4,2,2) = 1

(4,2,3) = 4

(4,3,3) = 1

(4,4,1) =0

(4,4,2) =0

(4,4,3) =0

組み合わせ 3+4+4+1+4+1=15

- $P(X=4) = 15/56$

- X = 3の場合：最大の数が3なので、3が少なくとも1枚含まれ、残りの数字は3以下で4を含まない。

- (3, 3, x): x = 1, 2, 3。

(3,3,1), (3,3,2) 組み合わせ 2+2 =4

(3,2,1) = 4*2 =8

(3,3,3) =1

- (3, x, y): x, y < 3 かつ x, yの少なくとも1つは2

- $P(X=3) = \frac{4+8}{56}= 12/56

- X = 2の場合：最大の数が2なので、2が少なくとも1枚含まれ、残りの数字は2以下で3を含まない。

- (2, 2, x): x = 1, 2。

- $P(X=2) = 1/56$

3. 最終的な答え

(1) 3/14

(2) 4/7

(3) P(X=4) = 15/56, P(X=3) = 3/14, P(X=2) = 1/28