1から4までの数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = 7X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = 7X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の確率分布を求め、期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を計算する。その後、$E(Y)$ と $\sigma(Y)$ を求める。

* **ステップ1: $X$ の確率分布を求める**

カードの総数は $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ 枚である。それぞれの数字が出る確率は以下の通りである。

* $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

* $P(X=2) = \frac{3}{10}$

* $P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $P(X=4) = \frac{1}{10}$

* **ステップ2: $X$ の期待値 $E(X)$ を求める**

$E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_i P(X=x_i)$

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

* **ステップ3: $X$ の2乗の期待値 $E(X^2)$ を求める**

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{4} x_i^2 P(X=x_i)$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{5} + \frac{12}{10} + \frac{9}{5} + \frac{16}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{18}{10} + \frac{16}{10} = \frac{50}{10} = 5$

* **ステップ4: $X$ の分散 $V(X)$ を求める**

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$V(X) = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

* **ステップ5: $Y$ の期待値 $E(Y)$ を求める**

$Y = 7X - 2$ より、

$E(Y) = E(7X - 2) = 7E(X) - 2 = 7 \cdot 2 - 2 = 14 - 2 = 12$

* **ステップ6: $Y$ の分散 $V(Y)$ を求める**

$V(Y) = V(7X - 2) = 7^2 V(X) = 49 \cdot 1 = 49$

* **ステップ7: $Y$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める**

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = 12$

標準偏差 $\sigma(Y) = 7$