1から5の数字が書かれたカードがあり、それぞれの枚数が与えられています。この中から1枚のカードを引くとき、出る数字を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

1から5の数字が書かれたカードがあり、それぞれの枚数が与えられています。この中から1枚のカードを引くとき、出る数字を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求めます。カードの合計枚数は $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ 枚です。

- $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

- $P(X=2) = \frac{3}{10}$

- $P(X=4) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

- $P(X=5) = \frac{1}{10}$

次に、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{8}{10} + \frac{5}{10} = \frac{23}{10} = 2.3$

次に、$E(X^2)$ を求めます。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{32}{10} + \frac{25}{10} = \frac{73}{10} = 7.3$

次に、確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 7.3 - (2.3)^2 = 7.3 - 5.29 = 2.01$

次に、確率変数 $Y$ の期待値 $E(Y)$ を求めます。

$E(Y) = E(-5X + 2) = -5E(X) + 2 = -5 \cdot 2.3 + 2 = -11.5 + 2 = -9.5$

次に、確率変数 $Y$ の分散 $V(Y)$ を求めます。

$V(Y) = V(-5X + 2) = (-5)^2V(X) = 25 \cdot 2.01 = 50.25$

最後に、確率変数 $Y$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{50.25} = 7.088723423 \approx 7.09$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = -9.5$

標準偏差 $\sigma(Y) = 7.09$