1, 2, 4, 5 が書かれたカードがそれぞれ 4枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とすると、$X$ の期待値 $E(X) = \frac{23}{10}$ 、標準偏差 $\sigma(X) = \frac{\sqrt{201}}{10}$ である。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

1. 問題の内容

1, 2, 4, 5 が書かれたカードがそれぞれ 4枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とすると、$X$ の期待値 $E(X) = \frac{23}{10}$ 、標準偏差 $\sigma(X) = \frac{\sqrt{201}}{10}$ である。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

2. 解き方の手順

期待値の線形性より、

$E(Y) = E(-5X + 2) = -5E(X) + 2$

標準偏差の性質より、

$\sigma(Y) = \sigma(-5X + 2) = |-5| \sigma(X) = 5 \sigma(X)$

与えられた $E(X) = \frac{23}{10}$ を用いて $E(Y)$ を計算する。

$E(Y) = -5 \times \frac{23}{10} + 2 = -\frac{23}{2} + 2 = -\frac{23}{2} + \frac{4}{2} = -\frac{19}{2}$

与えられた $\sigma(X) = \frac{\sqrt{201}}{10}$ を用いて $\sigma(Y)$ を計算する。

$\sigma(Y) = 5 \times \frac{\sqrt{201}}{10} = \frac{\sqrt{201}}{2}$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = -\frac{19}{2}$

標準偏差 $\sigma(Y) = \frac{\sqrt{201}}{2}$