袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求めます。玉の総数は $3 + 3 + 2 + 2 = 10$ 個です。

* $P(X=2) = \frac{3}{10}$

* $P(X=3) = \frac{3}{10}$

* $P(X=4) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $P(X=5) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

次に、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{2}{10} + 5 \cdot \frac{2}{10} = \frac{6 + 9 + 8 + 10}{10} = \frac{33}{10} = 3.3$

次に、確率変数 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{2}{10} = \frac{12 + 27 + 32 + 50}{10} = \frac{121}{10} = 12.1$

確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 12.1 - (3.3)^2 = 12.1 - 10.89 = 1.21$

確率変数 $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1.21} = 1.1$

次に、$Y = -5X + 8$ の期待値 $E(Y)$ を計算します。

$E(Y) = E(-5X + 8) = -5E(X) + 8 = -5(3.3) + 8 = -16.5 + 8 = -8.5$

$Y = -5X + 8$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を計算します。

$\sigma(Y) = |-5| \sigma(X) = 5 \cdot 1.1 = 5.5$

3. 最終的な答え

$E(Y) = -8.5$

$\sigma(Y) = 5.5$