与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{pmatrix} $
2025/6/25
1. 問題の内容
与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。
\begin{pmatrix}
2 & -4 & -5 & 3 \\
-6 & 13 & 14 & 1 \\
1 & -2 & -2 & -8 \\
2 & -5 & 0 & 5
\end{pmatrix}
2. 解き方の手順
行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。まず、1行目を基準にして、他の行の最初の要素を0にします。
- 2行目に (1行目) x 3 を足す
- 3行目に (1行目) x (-1/2) を足す
- 4行目に (1行目) x (-1) を足す
これにより、行列は次のようになります。
\begin{pmatrix}
2 & -4 & -5 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 10 \\
0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\
0 & -1 & 5 & 2
\end{pmatrix}
次に、4行目に2行目を足します。
\begin{pmatrix}
2 & -4 & -5 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 10 \\
0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\
0 & 0 & 4 & 12
\end{pmatrix}
さらに、4行目に3行目 x (-8) を足します。
\begin{pmatrix}
2 & -4 & -5 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 10 \\
0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\
0 & 0 & 0 & 112
\end{pmatrix}
この行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積で計算できます。
\text{行列式} = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 112 = 112
3. 最終的な答え
112