$x = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$であるとき、$x^2+xy+y^2$と$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$であるとき、$x^2+xy+y^2$と$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

$y = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = (\sqrt{6}-\sqrt{2}) + (\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$

$xy = (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 6-2 = 4$

$x^2+xy+y^2 = (x+y)^2 - xy$ を計算する。

$x^2+xy+y^2 = (2\sqrt{6})^2 - 4 = 4 \cdot 6 - 4 = 24 - 4 = 20$

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = x^2(x+y) + y^2(x+y) = (x^2+y^2)(x+y) = ((x+y)^2-2xy)(x+y)$ を計算する。

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = ((2\sqrt{6})^2-2\cdot 4)(2\sqrt{6}) = (24-8)(2\sqrt{6}) = 16(2\sqrt{6}) = 32\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x^2+xy+y^2 = 20$

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = 32\sqrt{6}$