3つの2次関数 $y=x^2+ax+b$、 $y=x^2+cx+d$、 $y=x^2+ex+f$ が与えられています。 これらのグラフの位置関係が図示されており、以下の問いに答えます。 (1)(i) $a-c$ と 0 の大小関係、 $b-d$ と 0 の大小関係を比較し、1～3の選択肢から適切なものを選びます。 (1)(ii) $a$, $c$, $e$ の符号の組み合わせとして正しいものを、表の1～8から選びます。 (2) 3番目のグラフを $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動すると、1番目のグラフと重なる時、$e$ と $f$ を $a$ と $b$ で表します。

1. 問題の内容

3つの2次関数 $y=x^2+ax+b$、 $y=x^2+cx+d$、 $y=x^2+ex+f$ が与えられています。

これらのグラフの位置関係が図示されており、以下の問いに答えます。

(1)(i) $a-c$ と 0 の大小関係、 $b-d$ と 0 の大小関係を比較し、1～3の選択肢から適切なものを選びます。

(1)(ii) $a$, $c$, $e$ の符号の組み合わせとして正しいものを、表の1～8から選びます。

(2) 3番目のグラフを $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動すると、1番目のグラフと重なる時、$e$ と $f$ を $a$ と $b$ で表します。

2. 解き方の手順

(1)(i)

* $y=x^2+ax+b$ と $y=x^2+cx+d$ のグラフの軸が同じであることから、$x = -\frac{a}{2}$ = $x = -\frac{c}{2}$ となるので、$a=c$ が成り立ちます。よって、$a-c = 0$ となります。したがって、選択肢 2 (=) が当てはまります。

* グラフより、$y=x^2+ax+b$ の $y$ 切片 ($b$) が、$y=x^2+cx+d$ の $y$ 切片 ($d$) よりも大きいことがわかります。したがって、$b > d$ となり、$b - d > 0$ が成り立ちます。したがって、選択肢 3 (>) が当てはまります。

(1)(ii)

* $y=x^2+ax+b$ のグラフは下に凸で、軸が $y$ 軸の左側にあるので、$-\frac{a}{2} < 0$ 、つまり、$a > 0$。

* $y=x^2+cx+d$ のグラフは下に凸で、軸が $y$ 軸の左側にあるので、$-\frac{c}{2} < 0$ 、つまり、$c > 0$。

* $y=x^2+ex+f$ のグラフは下に凸で、軸が $y$ 軸の右側にあるので、$-\frac{e}{2} > 0$ 、つまり、$e < 0$。

* したがって、$a>0, c>0, e<0$ となり、表の選択肢 2 が当てはまります。

(2)

* $y = x^2 + ex + f$ のグラフを $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動したグラフは、

$y - 1 = (x - 4)^2 + e(x - 4) + f$

$y = x^2 - 8x + 16 + ex - 4e + f + 1$

$y = x^2 + (e - 8)x + (16 - 4e + f + 1)$

となります。

* これが $y = x^2 + ax + b$ と一致するので、

$e - 8 = a$

$16 - 4e + f + 1 = b$

が成り立ちます。

* $e = a + 8$

$f = b - 17 + 4e = b - 17 + 4(a + 8) = b - 17 + 4a + 32 = 4a + b + 15$

3. 最終的な答え

(1)(i)

$a-c$ (2) 0, $b-d$ (3) 0

(1)(ii)

2

(2)

$e = a + 8$

$f = 4a + b + 15$