$\log_3 2$, $\log_9 6$, $\frac{1}{2}$ の大小を不等号を用いて表してください。

1. 問題の内容

$\log_3 2$, $\log_9 6$, $\frac{1}{2}$ の大小を不等号を用いて表してください。

2. 解き方の手順

まず、すべての対数を同じ底に変換します。$\frac{1}{2}$も対数の形で表します。

底を3に統一することを考えます。

$\log_3 2$ はそのままにしておきます。

$\log_9 6 = \frac{\log_3 6}{\log_3 9} = \frac{\log_3 6}{2} = \frac{\log_3 6}{\log_3 3^2} = \frac{1}{2}\log_3 6 = \log_3 \sqrt{6}$

$\frac{1}{2} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{3}$

したがって、比較する数は $\log_3 2$, $\log_3 \sqrt{6}$, $\log_3 \sqrt{3}$ です。

底3は1より大きいので、真数の大小関係が対数の大小関係と一致します。

$2$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{3}$ の大小関係を調べます。

$2 = \sqrt{4}$ なので、$2 > \sqrt{3}$ です。

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(\sqrt{4})^2 = 4$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

よって、 $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2 < \sqrt{6}$ です。

したがって、$\log_3 \sqrt{3} < \log_3 2 < \log_3 \sqrt{6}$

よって、$\frac{1}{2} < \log_3 2 < \log_9 6$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < \log_3 2 < \log_9 6$