2次方程式 $2x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、次の値を求めます。 (1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (2) $\frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1}$ (3) $(\alpha - 1)(\beta - 1)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、次の値を求めます。

(1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(2) $\frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1}$

(3) $(\alpha - 1)(\beta - 1)$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$$

$$\alpha \beta = -\frac{1}{2}$$

(1)

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)$

$= (-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})$

$= \frac{3}{4}$

(2)

$\frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} = \frac{(\beta + 1) + (\alpha + 1)}{(\alpha + 1)(\beta + 1)}$

$= \frac{\alpha + \beta + 2}{\alpha \beta + \alpha + \beta + 1}$

$= \frac{-\frac{3}{2} + 2}{-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1}$

$= \frac{\frac{1}{2}}{-1 + 1}$

ここで、分母が0になるので、$\frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1}$ は定義できません。

(3)

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - \alpha - \beta + 1$

$= \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1$

$= -\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}) + 1$

$= -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1$

$= \frac{2}{2} + 1$

$= 1 + 1$

$= 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{4}$

(2) 定義できない

(3) $2$