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初項 $a_1 = -3$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

代数学数列漸化式等比数列一般項
2025/6/26

1. 問題の内容

初項 a1=−3a_1 = -3 であり、漸化式 an+1=2ana_{n+1} = 2a_n を満たす数列 {an}\{a_n\} の一般項 ana_n を nn の式で表す。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 an+1=2ana_{n+1} = 2a_n は、数列 {an}\{a_n\} が公比 22 の等比数列であることを示しています。
等比数列の一般項は、初項 a1a_1 と公比 rr を用いて an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} と表されます。
この問題では、a1=−3a_1 = -3 であり、r=2r = 2 です。
したがって、ana_n は次のようになります。
an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1}
an=−3⋅2n−1a_n = -3 \cdot 2^{n-1}

3. 最終的な答え

an=−3⋅2n−1a_n = -3 \cdot 2^{n-1}

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