次の指数方程式を解きます。 ① $2^x = 2^5$ ② $3^x = 9$ ③ $5^{2x} = 5^4$ ④ $2^{2x} = 32$ ⑤ $3^{x+2} = 3^4$ ⑥ $5^x = \frac{1}{5}$ ⑦ $2^x = \sqrt{2}$ ⑧ $9^x = 27$ ⑨ $5^{2x} = 5^{x+3}$ ⑩ $(\frac{1}{2})^x = 4$

1. 問題の内容

次の指数方程式を解きます。

① $2^x = 2^5$

② $3^x = 9$

③ $5^{2x} = 5^4$

④ $2^{2x} = 32$

⑤ $3^{x+2} = 3^4$

⑥ $5^x = \frac{1}{5}$

⑦ $2^x = \sqrt{2}$

⑧ $9^x = 27$

⑨ $5^{2x} = 5^{x+3}$

⑩ $(\frac{1}{2})^x = 4$

2. 解き方の手順

① $2^x = 2^5$ より、$x = 5$

② $3^x = 9 = 3^2$ より、$x = 2$

③ $5^{2x} = 5^4$ より、$2x = 4$ なので、$x = 2$

④ $2^{2x} = 32 = 2^5$ より、$2x = 5$ なので、$x = \frac{5}{2}$

⑤ $3^{x+2} = 3^4$ より、$x+2 = 4$ なので、$x = 2$

⑥ $5^x = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ より、$x = -1$

⑦ $2^x = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ より、$x = \frac{1}{2}$

⑧ $9^x = 27$ を $(3^2)^x = 3^3$ と変形すると、$3^{2x} = 3^3$ となる。よって、$2x = 3$ なので、$x = \frac{3}{2}$

⑨ $5^{2x} = 5^{x+3}$ より、$2x = x+3$ なので、$x = 3$

⑩ $(\frac{1}{2})^x = 4$ を $(2^{-1})^x = 2^2$ と変形すると、$2^{-x} = 2^2$ となる。よって、$-x = 2$ なので、$x = -2$

3. 最終的な答え

① $x=5$

② $x=2$

③ $x=2$

④ $x=\frac{5}{2}$

⑤ $x=2$

⑥ $x=-1$

⑦ $x=\frac{1}{2}$

⑧ $x=\frac{3}{2}$

⑨ $x=3$

⑩ $x=-2$