$(1+2a+3a^2)^8$ の展開式における $a^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(1+2a+3a^2)^8$ の展開式における $a^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。$(x_1+x_2+...+x_m)^n$ の展開式における一般項は

$\frac{n!}{p_1!p_2!...p_m!} x_1^{p_1} x_2^{p_2} ... x_m^{p_m}$

ここで、$p_1+p_2+...+p_m = n$を満たす非負の整数 $p_1, p_2, ..., p_m$ を考えます。

この問題では、$(1+2a+3a^2)^8$ の展開式なので、$x_1=1$, $x_2=2a$, $x_3=3a^2$, $n=8$ となります。したがって、一般項は

$\frac{8!}{p_1!p_2!p_3!} 1^{p_1} (2a)^{p_2} (3a^2)^{p_3} = \frac{8!}{p_1!p_2!p_3!} 2^{p_2} 3^{p_3} a^{p_2+2p_3}$

ここで、$p_1+p_2+p_3=8$ かつ $p_2+2p_3=2$ となるような非負の整数 $p_1, p_2, p_3$ の組み合わせを探します。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

* $p_3 = 0$ のとき、$p_2 = 2$ となり、$p_1 = 8 - 2 - 0 = 6$。このときの項は $\frac{8!}{6!2!0!} 2^2 3^0 a^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 4 \cdot a^2 = 28 \cdot 4 a^2 = 112 a^2$

* $p_3 = 1$ のとき、$p_2 = 0$ となり、$p_1 = 8 - 0 - 1 = 7$。このときの項は $\frac{8!}{7!0!1!} 2^0 3^1 a^2 = 8 \cdot 3 a^2 = 24 a^2$

したがって、$a^2$ の項の係数は $112+24=136$ となります。

3. 最終的な答え

136