2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とします。$w = (a + bi)^2$ と定め、$i$ は虚数単位です。$\text{arg} \, z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \text{arg} \, z < 2\pi$ とします。このとき、以下の空欄に当てはまる値を求めます。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ})$、$\text{arg} \, w = (\text{エ})$ (3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$\text{arg}(a+bi) = (\text{カ})$、$\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とします。$w = (a + bi)^2$ と定め、$i$ は虚数単位です。$\text{arg} \, z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \text{arg} \, z < 2\pi$ とします。このとき、以下の空欄に当てはまる値を求めます。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ})$、$\text{arg} \, w = (\text{エ})$

(3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$\text{arg}(a+bi) = (\text{カ})$、$\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解きます。解の公式より、

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$、$b = \sqrt{3} + 1$ となります。

(1) $w = (a + bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + i(\sqrt{3} + 1))^2$. ここで、$a+bi$ は複素数なので、実部が$\sqrt{3} - 1$、虚部が$\sqrt{3} + 1$となります。従って、

\begin{align*} w &= (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i)^2 \\ &= (\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{3} + 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)i \\ &= (3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 2(3 - 1)i \\ &= 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} + 4i \\ &= -4\sqrt{3} + 4i\end{aligned}

よって、$w = -4\sqrt{3} + 4i$ となります。

(2) $|w| = |-4\sqrt{3} + 4i| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$\text{arg} \, w$ を求めます。$w = -4\sqrt{3} + 4i = 8(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ です。$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を考えると、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ です。したがって、$\text{arg} \, w = \frac{5\pi}{6}$ となります。

(3) $|a+bi| = |\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1 + 3 + 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\text{arg}(a+bi)$ を求めます。$\text{arg}(a+bi) = \theta$ とすると、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ となります。

$\theta = \frac{5\pi}{12}$ であることが知られています。

したがって、$\cos(\text{arg}(a+bi)) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$、$\text{arg} \, w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$、$\text{arg}(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$、$\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$