与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表します。問題は(1)と(2)の2つです。 (1) $x + 2y + 3z = 3$ $x + 3y + 4z = 4$ $2x + 4y + 7z = 6$ (2) $x - z = 1$ $2x + y = 3$ $3x + 2y + z = 5$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表します。問題は(1)と(2)の2つです。

(1)

$x + 2y + 3z = 3$

$x + 3y + 4z = 4$

$2x + 4y + 7z = 6$

(2)

$x - z = 1$

$2x + y = 3$

$3x + 2y + z = 5$

2. 解き方の手順

(1)

拡大係数行列を作成し、掃き出し法を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

1 & 3 & 4 & 4 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{bmatrix}$

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

1行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

よって、$x = 1$, $y = 1$, $z = 0$ となります。

(2)

拡大係数行列を作成し、掃き出し法を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & 1 & 0 & 3 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

$x - z = 1$ より $x = z + 1$

$y + 2z = 1$ より $y = -2z + 1$

$z$ は任意の値を取ることができます。

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} z+1 \\ -2z+1 \\ z \end{bmatrix}$

($z$は任意)