$A$を$m \times n$行列、$B$を$n \times m$行列とする。$m > n$ ならば、$AB$は正則でないことを示す。

1. 問題の内容

$A$を$m \times n$行列、$B$を$n \times m$行列とする。$m > n$ ならば、$AB$は正則でないことを示す。

2. 解き方の手順

$A$は$m \times n$行列、$B$は$n \times m$行列なので、$AB$は$m \times m$行列である。

$m>n$という条件より、$A$の列数$n$は、$A$の行数$m$よりも小さい。

$A$の列ベクトルを$a_1, a_2, ..., a_n$とすると、$A = [a_1, a_2, ..., a_n]$と表せる。ここで、$a_i$は$m$次元ベクトルである。$n < m$なので、$m$次元ベクトル空間において、$n$個の$m$次元ベクトル$a_1, a_2, ..., a_n$は線形独立ではない。すなわち、線形従属である。したがって、少なくとも１つのベクトルは他のベクトルの線形結合で表せる。

一方、$AB$の像空間（列空間）は、$A$の列空間に含まれる。つまり、$AB$の列空間の次元は、$A$の列空間の次元以下である。

$A$の列空間の次元は$n$以下なので、$AB$の列空間の次元も$n$以下である。

$AB$は$m \times m$行列なので、正則であるための必要十分条件は、$\text{rank}(AB) = m$であることである。

しかし、$m>n$であり、$AB$の列空間の次元は$n$以下であるため、$\text{rank}(AB) \le n < m$である。

したがって、$\text{rank}(AB) < m$であるため、$AB$は正則ではない。

3. 最終的な答え

$AB$は正則ではない。