$n$次正方行列 $A$ が次の2つの条件を満たすとき、$A$ の行列式が $0$ でないことを示せ。 (1) $A$ の各行には、$0$ 以外の成分がちょうど1つある。 (2) $A$ の各列には、$0$ 以外の成分がちょうど1つある。

1. 問題の内容

$n$次正方行列 $A$ が次の2つの条件を満たすとき、$A$ の行列式が $0$ でないことを示せ。

(1) $A$ の各行には、$0$ 以外の成分がちょうど1つある。

(2) $A$ の各列には、$0$ 以外の成分がちょうど1つある。

2. 解き方の手順

$A$ の行列式 $\det(A)$ が $0$ でないことを示す。

$\det(A) = 0$ であると仮定する。このとき、$A$ の行（または列）は線形従属である。すなわち、ある行（または列）が、他の行（または列）の線形結合で表せる。

条件 (1) より、各行には非ゼロ要素がちょうど1つしかない。

条件 (2) より、各列には非ゼロ要素がちょうど1つしかない。

この状況を考えると、$A$ は置換行列 $P$ と対角行列 $D$ の積で表すことができる。つまり、$A = PD$ と書ける。ここで、$P$ は各行と各列に $1$ がちょうど1つずつ存在し、残りの要素は $0$ であるような行列（置換行列）であり、$D$ は対角成分のみが非ゼロの値を持つ対角行列である。

$A$ の行列式は $\det(A) = \det(PD) = \det(P)\det(D)$ で与えられる。置換行列 $P$ の行列式は $\det(P) = \pm 1$ である。対角行列 $D$ の行列式は、その対角成分の積である。

$\det(A) = 0$ と仮定したので、$\det(P)\det(D) = 0$ となる。$\det(P) = \pm 1$ であるから、$\det(D) = 0$ でなければならない。$\det(D) = 0$ ということは、$D$ の対角成分の少なくとも1つが $0$ であることを意味する。しかし、これは $A$ のある行（または列）がすべて $0$ であることを意味し、条件 (1) または (2) に矛盾する。

したがって、$\det(A) = 0$ という仮定は誤りである。よって、$\det(A) \neq 0$ である。

3. 最終的な答え

$A$ の行列式は $0$ ではない。$\det(A) \neq 0$