ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、与えられたベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の2つのケースについて判定します。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、与えられたベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の2つのケースについて判定します。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

ベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるためには、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が線形独立である必要があります。線形独立であるかどうかは、次の行列式を計算することで判定できます。

$v_1 = a_{11} u_1 + a_{21} u_2 + a_{31} u_3$,

$v_2 = a_{12} u_1 + a_{22} u_2 + a_{32} u_3$,

$v_3 = a_{13} u_1 + a_{23} u_2 + a_{33} u_3$

と表すとき、行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式 $\det(A)$ が 0 でないとき、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は線形独立であり、$V$ の基となります。

(a) の場合：

$v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ より、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 2(2 - 1) - 1(1 - (-1)) + 1(1 - (-2)) = 2(1) - 1(2) + 1(3) = 2 - 2 + 3 = 3 \neq 0$

(b) の場合：

$v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$ より、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(3 - 0) - (-1)(-1 - 0) + 1(1 - 3) = 3 - 1 - 2 = 0$

3. 最終的な答え

(a) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基となる。

(b) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基とならない。