実数 $a$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 4ax + 8a^2 - 20a + 25 = 0$ が実数解を持つとき、$a$ の値とその時の解 $x$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 4ax + 8a^2 - 20a + 25 = 0$ が実数解を持つとき、$a$ の値とその時の解 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることです。

まず、与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$x^2 + 4ax + 8a^2 - 20a + 25 = 0$ に対して、$A=1$, $B=4a$, $C=8a^2 - 20a + 25$ です。

判別式 $D$ は $D = B^2 - 4AC$ で与えられるので、

$D = (4a)^2 - 4(1)(8a^2 - 20a + 25)$

$D = 16a^2 - 32a^2 + 80a - 100$

$D = -16a^2 + 80a - 100$

実数解を持つ条件 $D \geq 0$ より、

$-16a^2 + 80a - 100 \geq 0$

両辺を $-4$ で割ると、

$4a^2 - 20a + 25 \leq 0$

$(2a - 5)^2 \leq 0$

$(2a - 5)^2$ は常に0以上の値を取るので、この不等式を満たすのは $(2a - 5)^2 = 0$ のときのみです。

したがって、$2a - 5 = 0$ より、

$a = \frac{5}{2}$

次に、$a = \frac{5}{2}$ のときの2次方程式の解を求めます。

$x^2 + 4(\frac{5}{2})x + 8(\frac{5}{2})^2 - 20(\frac{5}{2}) + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 8(\frac{25}{4}) - 50 + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 50 - 50 + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 25 = 0$

$(x + 5)^2 = 0$

$x = -5$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$

$x = -5$