多項式 $2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x^2 + x - 3$ 、余りが $3x + 8$ である。このとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x^2 + x - 3$ 、余りが $3x + 8$ である。このとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本式は、

$割られる数 = 割る数 × 商 + 余り$

である。この問題では、

$2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = A(x^2 + x - 3) + (3x + 8)$

したがって、

$A(x^2 + x - 3) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1 - (3x + 8)$

$A(x^2 + x - 3) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9$

$A = \frac{2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9}{x^2 + x - 3}$

多項式の割り算を実行する。

$\qquad \begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +x & +3 \\

\cline{2-6}

x^2+x-3 & 2x^4 & +3x^3 & -2x^2 & +0x & -9 \\

\multicolumn{2}{r}{2x^4} & +2x^3 & -6x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & x^3 & +4x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & x^3 & +x^2 & -3x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 3x^2 & +3x & -9 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 3x^2 & +3x & -9 \\

\cline{4-6}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}$

したがって、 $A = 2x^2 + x + 3$

3. 最終的な答え

$A = 2x^2 + x + 3$