画像に記載された6つの2次方程式を解の公式を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

画像に記載された6つの2次方程式を解の公式を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ という2次方程式に対して、解 $x$ を求める以下の公式です。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

各方程式に対して、$a$, $b$, $c$ の値を特定し、上記の公式に代入して計算します。

(1) $3x^2 + 5x + 1 = 0$

$a=3$, $b=5$, $c=1$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(2) $x^2 - 9x + 11 = 0$

$a=1$, $b=-9$, $c=11$

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 44}}{2}$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{37}}{2}$

(3) $2x^2 - 4x - 3 = 0$

$a=2$, $b=-4$, $c=-3$

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4}$

$x = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $4x^2 - x - 2 = 0$

$a=4$, $b=-1$, $c=-2$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

(5) $4x^2 - 4x - 7 = 0$

$a=4$, $b=-4$, $c=-7$

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7)}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{8}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{8}$

$x = \frac{4 \pm 8\sqrt{2}}{8}$

$x = \frac{1 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

(6) $6x^2 - x - 1 = 0$

$a=6$, $b=-1$, $c=-1$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12}$

$x = \frac{1 \pm 5}{12}$

$x = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1-5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(2) $x = \frac{9 \pm \sqrt{37}}{2}$

(3) $x = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

(5) $x = \frac{1 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

(6) $x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$