与えられた分数の足し算を計算し、結果を最も簡単な形にまとめる問題です。 $ \frac{3}{x+3} + \frac{5}{x-5} $

1. 問題の内容

与えられた分数の足し算を計算し、結果を最も簡単な形にまとめる問題です。

$\frac{3}{x+3} + \frac{5}{x-5}$

2. 解き方の手順

まず、二つの分数の分母を揃えます。共通の分母は $(x+3)(x-5)$ となります。

それぞれの分数の分子と分母に、共通の分母を作り出すために必要な式を掛けます。

$\frac{3}{x+3} \cdot \frac{x-5}{x-5} = \frac{3(x-5)}{(x+3)(x-5)}$

$\frac{5}{x-5} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-5)}$

次に、共通の分母を持つ二つの分数を足し合わせます。

$\frac{3(x-5)}{(x+3)(x-5)} + \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-5)} = \frac{3(x-5) + 5(x+3)}{(x+3)(x-5)}$

分子を展開して簡略化します。

$3(x-5) + 5(x+3) = 3x - 15 + 5x + 15 = 8x$

したがって、

$\frac{8x}{(x+3)(x-5)}$

分母を展開します。

$(x+3)(x-5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$

したがって、

$\frac{8x}{x^2 - 2x - 15}$

3. 最終的な答え

$\frac{8x}{x^2 - 2x - 15}$