数列 $\{a_n\}$ の第5項を求める問題です。以下の2つの場合について考えます。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 2a_n + 1$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 3}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の第5項を求める問題です。以下の2つの場合について考えます。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 2a_n + 1$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 3}$

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ が与えられており、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ が与えられています。この漸化式を用いて、順番に $a_2, a_3, a_4, a_5$ を計算します。

$a_2 = 2a_1 + 1 = 2(2) + 1 = 5$

$a_3 = 2a_2 + 1 = 2(5) + 1 = 11$

$a_4 = 2a_3 + 1 = 2(11) + 1 = 23$

$a_5 = 2a_4 + 1 = 2(23) + 1 = 47$

(2) 初項 $a_1$ が与えられており、漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 3}$ が与えられています。この漸化式を用いて、順番に $a_2, a_3, a_4, a_5$ を計算します。

$a_2 = \frac{2a_1}{a_1 + 3} = \frac{2(1)}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$a_3 = \frac{2a_2}{a_2 + 3} = \frac{2(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2} + 3} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$

$a_4 = \frac{2a_3}{a_3 + 3} = \frac{2(\frac{2}{7})}{\frac{2}{7} + 3} = \frac{\frac{4}{7}}{\frac{23}{7}} = \frac{4}{23}$

$a_5 = \frac{2a_4}{a_4 + 3} = \frac{2(\frac{4}{23})}{\frac{4}{23} + 3} = \frac{\frac{8}{23}}{\frac{73}{23}} = \frac{8}{73}$

3. 最終的な答え

(1) $a_5 = 47$

(2) $a_5 = \frac{8}{73}$