数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = -3$ かつ $5a_{n+1} = 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = -3$ かつ $5a_{n+1} = 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形する。

$5a_{n+1} = 2a_n$ より、

$a_{n+1} = \frac{2}{5}a_n$

これは、数列 $\{a_n\}$ が公比 $\frac{2}{5}$ の等比数列であることを示している。

初項は $a_1 = -3$ である。

したがって、一般項 $a_n$ は、等比数列の一般項の公式を用いて、以下のように表される。

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

ここで、$a_1 = -3$ であり、$r = \frac{2}{5}$ であるから、

$a_n = -3 \cdot (\frac{2}{5})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cdot (\frac{2}{5})^{n-1}$