ゆりあさんと、のどかさんの会話文に関する問題です。 5x5の表に1から25の整数が順番に並べられています。縦横2x2の正方形を考え、その中の4つの整数について、下2つの数の積から上2つの数の積を引くと、その差が10の倍数になるという規則があることを述べています。 (1) 空欄ア、イ、ウに当てはまる数を答える。 (2) この規則が成り立つことを証明する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

ゆりあさんと、のどかさんの会話文に関する問題です。

5x5の表に1から25の整数が順番に並べられています。縦横2x2の正方形を考え、その中の4つの整数について、下2つの数の積から上2つの数の積を引くと、その差が10の倍数になるという規則があることを述べています。

(1) 空欄ア、イ、ウに当てはまる数を答える。

(2) この規則が成り立つことを証明する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

(1)

ア：下2つの数の積を求める。$12 \times 13 = 156$。したがって、ア = 156。

イ：上2つの数の積を求める。$7 \times 8 = 56$。したがって、イ = 56。

ウ：下2つの数の積から上2つの数の積を引く。$156 - 56 = 100$。したがって、ウ = 100。

(2)

左上の整数を $n$ とすると、2x2の正方形の4つの整数は、

$n$

$n+1$

$n+5$

$n+6$

と表される。

下2つの数の積は、$(n+5)(n+6) = n^2 + 11n + 30$

上2つの数の積は、$n(n+1) = n^2 + n$

下2つの数の積から上2つの数の積を引くと、

$(n^2 + 11n + 30) - (n^2 + n) = n^2 + 11n + 30 - n^2 - n = 10n + 30 = 10(n+3)$

これは10の倍数である。

3. 最終的な答え

(1)

ア = 156

イ = 56

ウ = 100

(2)

縦、横2つずつの正方形の形に並んでいる4つの整数のうち、左上の整数を$n$とすると、4つの整数は$n$, $n+1$, $n+5$, $n+6$と表せる。

下2つの数の積は$(n+5)(n+6)= n^2 + 11n + 30$、上2つの数の積は$n(n+1)= n^2 + n$。

よって、下2つの数の積から上2つの数の積を引くと、

$(n^2 + 11n + 30) - (n^2 + n) = 10n + 30 = 10(n+3)$となり、これは10の倍数である。

よって、表の中の縦、横2つずつの正方形の形に並んでいる4つの整数において、下2つの数の積から上2つの数の積をひくと、その差は10の倍数になる。